$30°, 45°, 60°$ — 이 세 각은 가장 자주 등장하는 각인 데다, 친숙한 도형(직각이등변삼각형·정삼각형)에서 정확한 값으로 유도된다. 값이 무리수($\sqrt{2}, \sqrt{3}$)지만 정확한 분수로 표현 가능하므로, 외워두면 계산이 깔끔해진다.
① 시험·문제에서 가장 자주 등장하는 각
② 도형으로 정확히 유도 가능 → 표 없이도 즉시 사용
③ $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 의 익숙한 무리수가 등장 — Ⅰ단원과 자연스럽게 연결
$45°$ — 직각이등변삼각형에서
1두 직각변이 같은 직각삼각형
두 직각변의 길이가 같은 직각이등변삼각형 — 두 예각이 모두 $45°$. 두 직각변 길이를 $1$ 이라 하면 빗변은 피타고라스에 의해 $\sqrt{2}$.
$\cos 45° = \dfrac{\text{인접변}}{\text{빗변}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan 45° = \dfrac{\text{대변}}{\text{인접변}} = \dfrac{1}{1} = 1$
$30°$ 와 $60°$ — 정삼각형 반쪽에서
1한 변이 $2$ 인 정삼각형 → 반으로 자르기
한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형을 한 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선을 내려 반으로 자른다.
② 밑변이 절반 → $1$
③ 빗변(원래 변) → $2$
④ 높이 (수선) = $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
그래서 변의 비율 — $1 : \sqrt{3} : 2$ (30°의 대변 : 60°의 대변 : 빗변)
$\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \;\; \cos 60° = \dfrac{1}{2}, \;\; \tan 60° = \sqrt{3}$
$\angle B = 30°$ 기준 (대변 1, 인접변 √3, 빗변 2):
$\sin 30° = \dfrac{1}{2}, \;\; \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \;\; \tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
외워야 할 9개 값
특수각 삼각비 표
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| $\sin$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
표 안에 숨은 패턴
관찰할 만한 4가지 패턴
- ① $\sin$ 행은 증가 — $\dfrac{1}{2} < \dfrac{\sqrt{2}}{2} < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (각이 커지면 sin도 커짐)
- ② $\cos$ 행은 감소 — 같은 값들이 반대 순서. $\dfrac{\sqrt{3}}{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2} > \dfrac{1}{2}$
- ③ $\sin$ 과 $\cos$ 의 대칭 — $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$ 그리고 $\sin 60° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- ④ $\tan$ 값의 곱 — $\tan 30° \cdot \tan 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = 1$ (두 각의 합이 90°)
가장 자주 하는 실수 3가지
30° 와 60° 의 sin·cos 바꿔 쓰기
"작은 각의 sin은 작다" 직관 기억. $30° < 60°$ 이므로 $\sin 30° < \sin 60°$.
$\tan 30° = \sqrt{3}$ 으로 잘못 쓰기
tan 값의 곱이 1 인 두 각 (30°, 60°) 의 tan 값은 서로 역수.
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 그대로 두기
Ⅰ-2에서 배운 분모의 유리화 — 답을 적을 때 분모에 무리수가 남으면 안 된다.
특수각 삼각비 학습기
각을 선택하면 그 각의 삼각비 세 값과 도형이 표시된다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$\sin 30° + \cos 60°$ 의 값을 구하라.
- $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
- $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
- 합 → $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = $ $1$
- 관찰 — $\sin 30° = \cos 60°$ 이므로 두 값이 같음. 여각의 성질.
$\tan 45° \cdot \sin 60° + \cos 30° \cdot \tan 60°$ 의 값을 구하라.
- $\tan 45° = 1, \;\; \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \;\; \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \;\; \tan 60° = \sqrt{3}$
- $1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}$
- $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}$ ($\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$)
- $= \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2}$ 또는 $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$
난이도별 연습 8문제
$\cos 30°$ 의 값은? (예: √3/2)
$\sin 45°$ 의 값은?
$\tan 60°$ 의 값은?
$\sin 30° + \cos 30°$ 의 값은? (예: (1+√3)/2)
$\sin^2 60° + \cos^2 60°$ 의 값은? [피타고라스 항등식]
$\tan 60° \cdot \tan 30°$ 의 값은?
$\sin 45° \cdot \cos 45°$ 의 값은?
직각삼각형에서 한 예각이 $30°$ 이고 빗변이 $6$ 이다. $30°$ 의 대변 길이는? [힌트: 대변 = 빗변 · sin 30°]
9가지 값, 평생의 자산
$30°, 45°, 60°$ 의 9개 삼각비 값은 외워두는 순간 평생의 자산이 된다. 직각이등변삼각형과 정삼각형이라는 친숙한 도형에서 정확하게 유도되므로, 잊어버려도 즉시 다시 만들 수 있다. 다음 차시에서는 다른 모든 예각의 삼각비를 표로 다룬다.